Er P og NP faktisk den samme kompleksitetsklasse?
Spørgsmålet om, hvorvidt P er lig med NP, er et af de mest dybtgående og uløste problemer inden for datalogi og matematik. Dette problem ligger i hjertet af beregningsmæssig kompleksitetsteori, et felt, der studerer den iboende vanskelighed ved beregningsmæssige problemer og klassificerer dem efter de ressourcer, der er nødvendige for at løse dem.
For at forstå spørgsmålet er det vigtigt at forstå definitionerne af klasserne P og NP. Klassen P består af beslutningsproblemer (problemer med et ja/nej-svar), der kan løses af en deterministisk Turing-maskine i polynomisk tid. Polynomisk tid indebærer, at den tid, der kræves for at løse problemet, kan udtrykkes som en polynomisk funktion af inputstørrelsen. Eksempler på problemer i P omfatter sortering af en liste med tal (hvilket kan gøres i O(n log n) tid ved hjælp af effektive algoritmer som f.eks. mergesort) og at finde den største fælles divisor af to heltal ved hjælp af den euklidiske algoritme (som kører i O(log) (min(a, b))) tid).
Klassen NP består på den anden side af beslutningsproblemer, for hvilke en given løsning kan verificeres i polynomiel tid af en deterministisk Turing-maskine. Det betyder, at hvis nogen giver en kandidatløsning på problemet, kan man kontrollere dets rigtighed effektivt. Det er vigtigt, at NP ikke nødvendigvis indebærer, at selve problemet kan løses i polynomisk tid, kun at en foreslået løsning kan verificeres hurtigt. Eksempler på problemer i NP omfatter det boolske tilfredshedsproblem (SAT), hvor man søger at afgøre, om der eksisterer en tildeling af sandhedsværdier til variabler, der gør en given boolsk formel sand, og det Hamiltonske cyklusproblem, som spørger, om der eksisterer en cyklus. der besøger hvert hjørne af en graf nøjagtigt én gang.
P vs NP-spørgsmålet spørger, om ethvert problem, hvis løsning kan verificeres i polynomiel tid (dvs. hvert problem i NP) også kan løses i polynomiel tid (dvs. er i P). Formelt er spørgsmålet, om P = NP. Hvis P var lig med NP, ville det betyde, at ethvert problem, for hvilket en løsning hurtigt kan verificeres, også kunne løses hurtigt. Dette ville have dybtgående konsekvenser for områder som kryptografi, optimering og kunstig intelligens, da mange i øjeblikket uløselige problemer potentielt kan blive effektivt løses.
På trods af årtiers forskning forbliver P vs NP-spørgsmålet åbent. Ingen har endnu været i stand til at bevise hverken P = NP eller P ≠ NP. Vanskeligheden ved dette problem understreges af, at det er inkluderet som et af de syv "Millennium Prize Problemer" af Clay Mathematics Institute, med en præmie på $1 million for en korrekt løsning. Manglen på en beslutning har ført til betydelige udviklinger inden for både teoretisk og anvendt datalogi.
Et af nøglebegreberne relateret til P vs NP-spørgsmålet er NP-fuldstændighed. Et problem er NP-komplet, hvis det er i NP og lige så svært som ethvert problem i NP, i den forstand, at ethvert NP-problem kan reduceres til det ved hjælp af en polynomisk tidsreduktion. Begrebet NP-fuldstændighed blev introduceret af Stephen Cook i hans banebrydende papir fra 1971, hvor han beviste, at SAT-problemet er NP-komplet. Dette resultat, kendt som Cooks teorem, var banebrydende, fordi det gav et konkret eksempel på et NP-komplet problem og etablerede en ramme for identifikation af andre NP-komplet problemer.
Siden da har mange andre problemer vist sig at være NP-komplette, såsom rejsende sælgerproblemet, klikeproblemet og rygsækproblemet. Betydningen af NP-fuldstændighed er, at hvis ethvert NP-fuldstændigt problem kan løses i polynomiel tid, så kan ethvert problem i NP løses i polynomiel tid, hvilket indebærer P = NP. Omvendt, hvis et NP-komplet problem ikke kan løses i polynomiel tid, så er P ≠ NP.
For at illustrere begrebet NP-fuldstændighed, overvej problemet med den rejsende sælger (TSP). I dette problem skal en sælger besøge et sæt byer, hver præcis én gang, og vende tilbage til startbyen med det mål at minimere den samlede rejseafstand. Beslutningsversionen af TSP spørger, om der findes en rundvisning i byerne med en samlet afstand mindre end eller lig med en given værdi. Dette problem er i NP, fordi man, givet en foreslået tur, nemt kan verificere i polynomiel tid, om turen opfylder afstandsbegrænsningen. Desuden er TSP NP-komplet, fordi ethvert problem i NP kan transformeres til en forekomst af TSP i polynomiel tid.
Et andet eksempel er klikeproblemet, som spørger, om en given graf indeholder en komplet undergraf (klike) af en specificeret størrelse. Dette problem er i NP, fordi man, givet en kandidatklik, kan verificere i polynomiel tid, om det faktisk er en klike af den krævede størrelse. Klikeproblemet er også NP-komplet, hvilket betyder, at en effektiv løsning af det ville indebære, at alle NP-problemer kan løses effektivt.
Studiet af P vs NP og NP-fuldstændighed har ført til udviklingen af forskellige teknikker og værktøjer inden for teoretisk datalogi. En sådan teknik er konceptet med polynomiske tidsreduktioner, som bruges til at vise, at et problem er mindst lige så svært som et andet. En polynomisk-tidsreduktion fra opgave A til opgave B er en transformation, der konverterer forekomster af A til forekomster af B i polynomiel tid, således at en løsning til den transformerede forekomst af B kan bruges til at løse den oprindelige forekomst af A. Hvis problem A kan reduceres til opgave B i polynomiel tid, og B kan løses i polynomiel tid, så kan A også løses i polynomiel tid.
Et andet vigtigt koncept er begrebet tilnærmelsesalgoritmer, som giver næsten optimale løsninger på NP-hårde problemer (problemer, der er mindst lige så hårde som NP-komplette problemer) i polynomiel tid. Selvom disse algoritmer ikke nødvendigvis finder den nøjagtige optimale løsning, tilbyder de en praktisk tilgang til at håndtere vanskelige problemer ved at levere løsninger, der er tæt på de bedst mulige. For eksempel har rejsende sælgerproblemet en velkendt tilnærmelsesalgoritme, der garanterer en tur inden for en faktor 1.5 af den optimale tur for den metriske TSP (hvor afstandene opfylder trekantens ulighed).
Implikationerne af at løse P vs NP-spørgsmålet strækker sig ud over teoretisk datalogi. Inden for kryptografi er mange krypteringssystemer afhængige af hårdheden af visse problemer, såsom heltalsfaktorisering og diskrete logaritmer, som menes at være i NP, men ikke i P. Hvis P var lig med NP, kunne disse problemer potentielt løses effektivt og kompromittere sikkerheden af kryptografiske systemer. Omvendt ville bevis for P ≠ NP give et stærkere grundlag for sikkerheden af sådanne systemer.
I optimering er mange problemer i den virkelige verden, såsom planlægning, routing og ressourceallokering, modelleret som NP-hårde problemer. Hvis P var lig med NP, ville det betyde, at effektive algoritmer kunne udvikles til at løse disse problemer optimalt, hvilket fører til betydelige fremskridt i forskellige industrier. Men den nuværende antagelse om, at P ≠ NP har ført til udviklingen af heuristiske og tilnærmelsesalgoritmer, der giver praktiske løsninger på disse problemer.
P vs NP-spørgsmålet har også filosofiske implikationer, da det berører arten af matematisk sandhed og grænserne for menneskelig viden. Hvis P var lig med NP, ville det betyde, at enhver matematisk udsagn med et kort bevis kunne opdages effektivt, hvilket potentielt ville revolutionere processen med matematisk opdagelse. På den anden side, hvis P ≠ NP, ville det tyde på, at der er iboende grænser for, hvad der effektivt kan beregnes og verificeres, hvilket fremhæver kompleksiteten og rigdommen af matematiske strukturer.
På trods af manglen på et endegyldigt svar på P vs NP-spørgsmålet, har forskningen omkring det ført til en dybere forståelse af beregningsmæssig kompleksitet og udviklingen af talrige teknikker og værktøjer, der har haft en dyb indvirkning på datalogi. Bestræbelsen på at løse dette spørgsmål fortsætter med at inspirere og udfordre forskere, drive fremskridt på området og udvide vores forståelse af de grundlæggende grænser for beregning.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr Kompleksitet:
- Er PSPACE-klassen ikke lig med EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en delmængde af PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise, at Np- og P-klassen er ens ved at finde en effektiv polynomielløsning for ethvert NP-fuldt problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lig med EXPTIME-klassen?
- Er der problemer i PSPACE, som der ikke er nogen kendt NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et komplet NP-problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk turingmaskine, der løser det i polynomisk tid
- NP er klassen af sprog, der har polynomielle tidsverifikatorer
- Er enhver kontekst frit sprog i P-kompleksitetsklassen?
- Er der en modsætning mellem definitionen af NP som en klasse af beslutningsproblemer med polynomial-tids-verifikatorer og det faktum, at problemer i klassen P også har polynomial-time-verifikatorer?
Se flere spørgsmål og svar i Complexity