Kan et SAT-problem være et komplet NP-problem?
Spørgsmålet om, hvorvidt et SAT-problem (Boolean satisfiability) kan være et NP-komplet problem, er et grundlæggende spørgsmål i beregningsmæssig kompleksitetsteori. For at løse dette er det vigtigt at overveje definitionerne og egenskaberne ved NP-fuldstændighed og undersøge den historiske og teoretiske kontekst, der understøtter klassificeringen af SAT som et NP-komplet problem.
Definitioner og kontekst
SAT problem: SAT-problemet involverer at bestemme, om der findes en tildeling af sandhedsværdier til variabler, der gør en given boolsk formel sand. En boolsk formel er typisk udtrykt i konjunktiv normalform (CNF), hvor formlen er en konjunktion af sætninger, og hver sætning er en adskillelse af bogstaver. For eksempel kan en formel se sådan ud:
![\[ (x_1 \lor \neg x_2) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (x_2 \lor \neg x_3). \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e405df3b02de2e85a91e7957c82bb5b_l3.png "Gengivet af QuickLaTeX.com")
NP (ikke-deterministisk polynomisk tid): Et beslutningsproblem er i NP, hvis en given løsning kan verificeres som korrekt eller forkert i polynomiel tid af en deterministisk Turing-maskine. I det væsentlige, hvis du har en kandidatløsning, kan du kontrollere dens gyldighed effektivt.
NP-komplet: Et problem er NP-komplet, hvis det opfylder to betingelser:
1. Det er i NP.
2. Ethvert problem i NP kan reduceres til det i polynomisk tid.
Begrebet NP-fuldstændighed blev introduceret af Stephen Cook i hans banebrydende papir fra 1971 "The Complexity of Theorem-Proving Procedures", hvor han demonstrerede, at SAT-problemet er det første kendte NP-komplet problem. Dette resultat er nu kendt som Cook's Theorem.
Cooks sætning og dens implikationer
For at forstå, hvorfor SAT er NP-komplet, skal vi etablere to nøglepunkter:
1. SAT er i NP.
2. Ethvert problem i NP kan reduceres til SAT i polynomiel tid.
SAT er i NP
For at verificere, at SAT er i NP, skal du overveje, at givet en boolsk formel og en foreslået tildeling af sandhedsværdier til dens variabler, kan vi kontrollere, om formlen evalueres til sand i polynomisk tid. Dette involverer at evaluere hver sætning i formlen for at se, om mindst én bogstavelig i hver sætning er sand. Da evaluering af en boolsk formel er en ligetil proces, der involverer et begrænset antal logiske operationer, kan det gøres effektivt. Således er SAT i NP, fordi vi kan verificere en løsning i polynomiel tid.
Polynomisk-tidsreduktion
Den mere udfordrende del af at bevise, at SAT er NP-komplet, er at vise, at ethvert problem i NP kan reduceres til SAT i polynomisk tid. Dette involverer at demonstrere, at der for ethvert problem i NP eksisterer en polynomisk-tidsberegnbar funktion, der transformerer forekomster af problemet til forekomster af SAT, således at det oprindelige problem har en løsning, hvis og kun hvis den transformerede SAT-forekomst er tilfredsstillende.
For at illustrere dette, overvej et generisk problem 
i NP. Per definition eksisterer der en ikke-deterministisk polynomisk-tids Turing-maskine 
der bestemmer . Maskinen har en polynomisk-tids verifikationsproces, der kan kontrollere, om et givet certifikat (løsning) er gyldigt. Vi kan indkode driften af på et input 
som en boolsk formel, således at formlen er tilfredsstillende hvis og kun hvis accepterer .
Kodningen involverer følgende trin:
1. Konfigurationskodning: Kod konfigurationerne (tilstande, båndindhold og hovedpositioner) af som booleske variable. Hver konfiguration kan repræsenteres af en sekvens af bit.
2. Overgangskodning: Kod overgangsfunktionen af som et sæt boolske begrænsninger. Disse begrænsninger sikrer, at gyldige overgange mellem konfigurationer fanges.
3. Indledende og accepterende stater: Kod den indledende konfiguration (når maskinen starter) og den accepterende konfiguration (når maskinen stopper og accepterer) som booleske begrænsninger.
Ved at konstruere en boolsk formel, der fanger adfærden af , opretter vi en forekomst af SAT, der er tilfredsstillende, hvis og kun hvis der er en sekvens af gyldige overgange, der fører til en accepterende tilstand. Denne reduktion kan udføres i polynomiel tid i forhold til størrelsen af input .
Eksempel: Reduktion fra 3-SAT til SAT
For yderligere at belyse begrebet polynomisk tidsreduktion, overvej det specifikke tilfælde med at reducere 3-SAT til SAT. 3-SAT-problemet er et særligt tilfælde af SAT, hvor hver klausul har præcis tre bogstaver. For at reducere 3-SAT til SAT kan vi blot observere, at enhver 3-SAT-instans allerede er i den form, der kræves af SAT (dvs. en CNF-formel). Derfor er reduktionen triviel og kan udføres i lineær tid, hvilket er en polynomisk tidsreduktion.
Implikationer af, at SAT er NP-komplet
Klassificeringen af SAT som NP-komplet har dybtgående implikationer for beregningsmæssig kompleksitetsteori og praktisk problemløsning. Da SAT er NP-komplet, kan ethvert problem i NP oversættes til en SAT-instans. Denne universalitet betyder, at SAT fungerer som et benchmark for kompleksiteten af andre problemer. Hvis vi kan finde en polynomiel-tidsalgoritme til at løse SAT, kan vi løse alle NP-problemer i polynomiel tid, hvilket indebærer 
.
Omvendt, hvis vi beviser, at der ikke eksisterer en polynomiel-tidsalgoritme for SAT, ville det betyde, at 
. Trods omfattende forskning er spørgsmålet om evt er stadig et af de vigtigste åbne problemer inden for datalogi.
Praktiske anvendelser
I praksis er SAT-løsere meget brugt i forskellige domæner, herunder softwareverifikation, kunstig intelligens og kryptografi. Moderne SAT-løsere udnytter sofistikerede algoritmer og heuristik til at håndtere store og komplekse instanser effektivt på trods af den teoretiske NP-fuldstændighed af SAT. Disse løsere har gjort det muligt at tackle problemer i den virkelige verden, som tidligere var vanskelige at løse.
Konklusion
SAT-problemet er faktisk et NP-komplet problem, som fastslået af Cook's Theorem. Denne klassifikation er baseret på det faktum, at SAT er i NP, og at hvert problem i NP kan reduceres til SAT i polynomisk tid. Implikationerne af, at SAT er NP-komplet, er vidtrækkende, hvilket påvirker både teoretisk forskning og praktiske anvendelser inden for datalogi.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr Kompleksitet:
- Er PSPACE-klassen ikke lig med EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en delmængde af PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise, at Np- og P-klassen er ens ved at finde en effektiv polynomielløsning for ethvert NP-fuldt problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lig med EXPTIME-klassen?
- Er der problemer i PSPACE, som der ikke er nogen kendt NP-algoritme for?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk turingmaskine, der løser det i polynomisk tid
- NP er klassen af sprog, der har polynomielle tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk den samme kompleksitetsklasse?
- Er enhver kontekst frit sprog i P-kompleksitetsklassen?
- Er der en modsætning mellem definitionen af NP som en klasse af beslutningsproblemer med polynomial-tids-verifikatorer og det faktum, at problemer i klassen P også har polynomial-time-verifikatorer?
Se flere spørgsmål og svar i Complexity