Er det muligt at afgøre, om to kontekstfrie grammatikker accepterer det samme sprog? Kan dette problem afgøres?
Det er faktisk muligt at afgøre, om to kontekstfri grammatikker accepterer det samme sprog. Problemet med at afgøre, om to kontekstfrie grammatikker accepterer det samme sprog, også kendt som "Equivalence of Context-Free Grammars"-problemet, er uafgørligt. Der er med andre ord ingen algoritme, der altid kan afgøre, om to kontekstfrie grammatikker accepterer det samme sprog.
To understand why this problem is undecidable, we need to consider the theory of computational complexity and the concept of decidability. Decidability refers to the ability of an algorithm to always terminate and produce a correct answer for a given input. In the case of the "Equivalence of Context-Free Grammars" problem, if there were a decider algorithm, it would always halt and correctly determine whether two context-free grammars accept the same language.
Beviset for uafgøreligheden for dette problem kan etableres ved at reducere det til "Halting Problem", som er et klassisk problem, der ikke kan afgøres inden for datalogi. Reduktionen viser, at hvis vi havde en beslutningsalgoritme for "Equivalence of Context-Free Grammars"-problemet, kunne vi bruge det til at løse "Halting-problemet", som er kendt for at være uafgørligt. Da "stoppeproblemet" ikke kan afgøres, følger det, at problemet "ækvivalens af kontekstfri grammatikker" også er uafgørligt.
For at give en mere intuitiv forståelse, lad os overveje et eksempel. Antag, at vi har to kontekstfrie grammatikker G1 og G2. G1 genererer sproget for alle palindromer over alfabetet {a, b}, mens G2 genererer sproget for alle strenge af formen a^nb^n (hvor n er et positivt heltal). Intuitivt kan vi se, at disse to grammatikker ikke genererer det samme sprog. Men at bevise dette formelt er en udfordrende opgave, og der er ingen generel algoritme, der kan gøre det for et givet par kontekstfri grammatikker.
Uafgøreligheden af "Equivalence of Context-Free Grammars"-problemet har betydelige implikationer inden for forskellige områder af computervidenskab, herunder programmeringssprogsteori, compilerdesign og naturlig sprogbehandling. Det fremhæver begrænsningerne ved beregning og eksistensen af problemer, der ikke kan løses algoritmisk.
Det er muligt at afgøre, om to kontekstfrie grammatikker accepterer det samme sprog, men det er et uafgørligt problem at afgøre, om de gør det. Dette resultat er etableret gennem en reduktion til det uafklarelige "stoppeproblem". Uafgøreligheden af dette problem har vigtige implikationer inden for forskellige områder af datalogi.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr afgørbarhed:
- Kan et bånd begrænses til størrelsen af inputtet (hvilket svarer til, at turingmaskinens hoved er begrænset til at bevæge sig ud over TM-båndets input)?
- Hvad betyder det, at forskellige varianter af Turing-maskiner er ækvivalente med hensyn til computerkapacitet?
- Kan et genkendeligt sprog danne en delmængde af afgøreligt sprog?
- Er stopproblemet med en Turing-maskine afgøreligt?
- Hvis vi har to TM'er, der beskriver et sprog, der kan afgøres, er ækvivalensspørgsmålet stadig uafgørligt?
- Hvordan adskiller acceptproblemet for lineært afgrænsede automater sig fra det for Turing-maskiner?
- Giv et eksempel på et problem, der kan afgøres af en lineært afgrænset automat.
- Forklar begrebet afgørelighed i sammenhæng med lineært afgrænsede automater.
- Hvordan påvirker størrelsen af båndet i lineært afgrænsede automater antallet af distinkte konfigurationer?
- Hvad er den største forskel mellem lineært afgrænsede automater og Turing-maskiner?
Se flere spørgsmål og svar i Afgørelighed