Spørgsmålet om, hvorvidt det stoppende problem med en Turing-maskine kan afgøres, er et grundlæggende spørgsmål inden for teoretisk datalogi, især inden for områderne beregningsmæssig kompleksitetsteori og afgørelighed. Stopningsproblemet er et beslutningsproblem, der uformelt kan angives som følger: givet en beskrivelse af en Turing-maskine og et input, afgør, om Turing-maskinen til sidst vil stoppe, når den køres med det input, eller om den vil køre for evigt.
For at adressere afgøreligheden af standsningsproblemet er det vigtigt at forstå selve begrebet afgørelighed. Et problem siges at kunne afgøres, hvis der findes en algoritme, der kan give et korrekt ja-eller-nej-svar for hver forekomst af problemet inden for en begrænset tid. Omvendt er et problem uafgørligt, hvis der ikke findes en sådan algoritme.
Stoppeproblemet blev først introduceret og bevist at være uafgørligt af Alan Turing i 1936. Turings bevis er et klassisk eksempel på et diagonaliseringsargument og involverer en smart brug af selvreference og selvmodsigelse. Beviset kan skitseres som følger:
1. Antagelse om afgørelighed: Antag for modsigelsens skyld, at der findes en Turing-maskine ( H ), der kan afgøre standsningsproblemet. Det vil sige, (H) tager som input et par ((M, w) ), hvor (M) er en beskrivelse af en Turing-maskine og (w) er en inputstreng, og (H(M,w)) returnerer " ja" hvis ( M ) stopper på ( w ) og "nej" hvis ( M ) ikke stopper på ( w ).
2. Konstruktion af en paradoksal maskine: Brug (H) til at konstruere en ny Turing-maskine (D), der tager et enkelt input (M) (en beskrivelse af en Turing-maskine) og opfører sig som følger:
– ( D(M) ) kører ( H(M, M) ).
– Hvis ( H(M, M) ) returnerer "nej", så stopper (D(M) ).
– Hvis ( H(M, M) ) returnerer "ja", så går ( D(M) ) ind i en uendelig sløjfe.
3. Selvreference og modsigelse: Overvej adfærden af ( D ), når den får sin egen beskrivelse som input. Lad (d) være beskrivelsen af (D). Så har vi to sager:
– Hvis ( D(d) ) stopper, skal (H(d, d)) ifølge definitionen af (D) returnere "nej", hvilket betyder, at (D(d)) ikke bør stoppe - en modsigelse.
– Hvis (D(d)) ikke stopper, skal (H(d,d)) ifølge definitionen af (D) returnere "ja", hvilket betyder, at (D(d)) skal stoppe - igen, en selvmodsigelse .
Da begge tilfælde fører til en modsigelse, må den oprindelige antagelse om, at (H) eksisterer, være falsk. Derfor er standsningsproblemet uafgørligt.
Dette bevis viser, at der ikke er nogen generel algoritme, der kan løse stopproblemet for alle mulige Turing-maskiner og input. Uafgøreligheden af stopproblemet har dybtgående implikationer for beregningens grænser, og hvad der kan bestemmes algoritmisk. Det viser, at der er iboende begrænsninger for, hvad der kan beregnes, og nogle problemer er uden for rækkevidde af enhver algoritme.
Overvej følgende eksempler for yderligere at illustrere implikationerne af stopproblemet:
- Programbekræftelse: Man ønsker måske at verificere, at et givet program afsluttes for alle mulige input. På grund af standsningsproblemets uafklarelighed er det umuligt at oprette en programverifikator til generelle formål, der for hvert muligt program og input kan bestemme, om programmet vil stoppe.
- Sikkerhed Analyse: Inden for cybersikkerhed vil man måske analysere, om et stykke malware i sidste ende vil stoppe med at udføre. Uafgøreligheden af stopproblemet indebærer, at der ikke er nogen generel algoritme, der kan afgøre, om en given malware vil stoppe.
- Matematiske beviser: Standsningsproblemet er relateret til Gödels ufuldstændighedssætninger, som siger, at der i ethvert tilstrækkeligt stærkt formelt system er sande udsagn, som ikke kan bevises i systemet. Uafgøreligheden af stopproblemet viser, at der er spørgsmål om algoritmers adfærd, som ikke kan besvares inden for rammerne af algoritmisk beregning.
Uafgøreligheden af standsningsproblemet fører også til begrebet reducerbarhed i beregningsmæssig kompleksitetsteori. Et problem ( A ) siges at kunne reduceres til et problem ( B ), hvis en løsning til ( B ) kan bruges til at løse ( A ). Hvis standsningsproblemet kunne afgøres, så kunne mange andre uafklarelige problemer også afgøres ved at reducere til standsningsproblemet. Men eftersom standsningsproblemet er uafgørligt, er ethvert problem, der kan reduceres til standsningsproblemet, også uafgørligt.
Standsningsproblemet med en Turing-maskine er uafgørligt. Dette resultat er en hjørnesten i teoretisk datalogi og har vidtrækkende implikationer for vores forståelse af beregninger, algoritmiske grænser og den matematiske sandhed.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr afgørbarhed:
- Kan et bånd begrænses til størrelsen af inputtet (hvilket svarer til, at turingmaskinens hoved er begrænset til at bevæge sig ud over TM-båndets input)?
- Hvad betyder det, at forskellige varianter af Turing-maskiner er ækvivalente med hensyn til computerkapacitet?
- Kan et genkendeligt sprog danne en delmængde af afgøreligt sprog?
- Hvis vi har to TM'er, der beskriver et sprog, der kan afgøres, er ækvivalensspørgsmålet stadig uafgørligt?
- Hvordan adskiller acceptproblemet for lineært afgrænsede automater sig fra det for Turing-maskiner?
- Giv et eksempel på et problem, der kan afgøres af en lineært afgrænset automat.
- Forklar begrebet afgørelighed i sammenhæng med lineært afgrænsede automater.
- Hvordan påvirker størrelsen af båndet i lineært afgrænsede automater antallet af distinkte konfigurationer?
- Hvad er den største forskel mellem lineært afgrænsede automater og Turing-maskiner?
- Beskriv processen med at transformere en Turing-maskine til et sæt fliser til PCP, og hvordan disse fliser repræsenterer beregningshistorien.
Se flere spørgsmål og svar i Afgørelighed