Er 7 og 12 ækvivalente i tilstand 5 drift

/ / Udgivet i Cybersecurity, Grundlæggende om EITC/IS/CCF klassisk kryptografi, Kryptografiens historie, Modulære aritmetiske og historiske koder

I forbindelse med modulær aritmetik, som er et grundlæggende begreb i klassisk kryptografi, kan spørgsmålet om, hvorvidt tallene 7 og 12 er ækvivalente i mode 5-drift, behandles ved at undersøge deres ækvivalens under modulo 5.

Modulær aritmetik er et aritmetisk system for heltal, hvor tal "ombrydes" når de når en bestemt værdi, modulet. I dette tilfælde er modulet 5. Notationen "a ≡ b (mod m)" bruges til at udtrykke, at a og b er kongruente modulo m, hvilket betyder, at når a divideres med m, efterlader det den samme rest, som når b er divideret med m.

For at bestemme, om 7 og 12 er ækvivalente i tilstand 5, skal vi beregne resten, når hvert tal divideres med 5.

1. Beregning af resten af ​​7 Modulo 5:
– Når 7 divideres med 5, er kvotienten 1, og resten er 2.
– Dette kan skrives som: 7 = 5 * 1 + 2.
– Derfor 7 ≡ 2 (mod 5).

2. Beregning af resten af ​​12 Modulo 5:
– Når 12 divideres med 5, er kvotienten 2, og resten er også 2.
– Dette kan skrives som: 12 = 5 * 2 + 2.
– Derfor 12 ≡ 2 (mod 5).

Da både 7 og 12 efterlader den samme rest (2), når de divideres med 5, er de kongruente modulo 5. Derfor er 5 og 7 ækvivalente i tilstand 12-drift. Dette kan formelt siges som:

    \[ 7 ≡ 12 \, (\tekst{mod} \, 5) \]

Didaktisk værdi og historisk kontekst

At forstå modulær aritmetik er vigtig for at forstå mange klassiske kryptografiske teknikker. Historisk set er modulær aritmetik blevet brugt i forskellige kryptografiske systemer, herunder den berømte Cæsar-ciffer og den mere komplekse Vigenère-ciffer.

Cæsar Chiffer

Cæsar-chifferet er en af ​​de enkleste og mest kendte krypteringsteknikker, tilskrevet Julius Cæsar, som angiveligt brugte den til at kommunikere med sine embedsmænd. Det er et substitutionskryptering, hvor hvert bogstav i klarteksten flyttes et vist antal steder ned eller op i alfabetet. For eksempel med et skift på 3:

– Klartekst: ABCDE
– Chiffertekst: DEFGH

Krypteringen kan udtrykkes matematisk ved hjælp af modulær aritmetik. Lad hvert bogstav være repræsenteret ved dets position i alfabetet (A = 0, B = 1, …, Z = 25). Krypteringsfunktionen kan defineres som:

    \[ E(x) = (x + k) \mod 26 \]

hvor x er bogstavets placering i alfabetet og k er skiftet. Til dekryptering er funktionen:

    \[ D(x) = (x - k) \mod 26 \]

Vigenère Cipher

Vigenère-chifferet, udviklet i det 16. århundrede, er en metode til at kryptere alfabetisk tekst ved at bruge en simpel form for polyalfabetisk substitution. Et nøgleord gentages for at matche længden af ​​klarteksten, og hvert bogstav i klarteksten flyttes i overensstemmelse med det tilsvarende bogstav i nøgleordet. Vigenère-chifferet kan opdeles i en række Cæsar-cifre.

Hvis nøgleordet f.eks. er "KEY", og klarteksten er "HEJ":
– Nøgleordet gentaget for at matche længden af ​​klarteksten: KEYKE
– Skiftet for hvert bogstav: K (10), E (4), Y (24)

Kryptering udføres som følger:
– H (7) + K (10) = R (17)
– E (4) + E (4) = I (8)
– L (11) + Y (24) = J (9)
– L (11) + K (10) = V (21)
– O (14) + E (4) = S (18)

Således er chifferteksten "RIJVS".

Praktiske eksempler i moderne kryptografi

I moderne kryptografi er modulær aritmetik grundlaget for algoritmer som RSA og Diffie-Hellman nøgleudveksling.

RSA algoritme

RSA (Rivest-Shamir-Adleman) er et udbredt kryptosystem med offentlig nøgle, der er afhængig af vanskeligheden ved at faktorisere store sammensatte tal. RSA-algoritmen involverer nøglegenerering, kryptering og dekrypteringsprocesser, som alle bruger modulær aritmetik.

Nøglegenerering:
1. Vælg to forskellige store primtal p og q.
2. Beregn n = pq og \phi(n) = (p-1)(q-1).
3. Vælg et heltal e sådan at 1 < e < \phi(n) og \gcd(e, \phi(n)) = 1.
4. Bestem d as d \equiv e^{-1} \mod \phi(n).

Den offentlige nøgle er (i) og den private nøgle er (d,n).

Kryptering:

    \[ c \equiv m^e \mod n \]

hvor m er klartekstbeskeden og c er chifferteksten.

Dekryptering:

    \[ m \equiv c^d \mod n \]

Diffie-Hellman nøgleudveksling

Diffie-Hellman nøgleudvekslingsprotokollen giver to parter mulighed for sikkert at dele en hemmelig nøgle over en offentlig kanal. Den er afhængig af vanskeligheden ved at beregne diskrete logaritmer i et begrænset felt, en anden anvendelse af modulær aritmetik.

1. Begge parter er enige om en stor prime p og en base g.
2. Hver part vælger en privat nøgle (a for Alice og b for Bob).
3. Alice beregner A = g^a \mod p og Bob beregner B = g^b \mod p.
4. De udveksler værdierne af A og B.
5. Alice beregner den delte hemmelighed som s = B^a \mod p.
6. Bob beregner den delte hemmelighed som s = A^b \mod p.

Begge parter deler nu hemmeligheden s.

Ækvivalensen af ​​7 og 12 i tilstand 5-drift er en ligetil anvendelse af modulær aritmetik, der viser, at begge tal efterlader den samme rest, når de divideres med 5. Dette koncept er ikke kun fundamentalt i klassisk kryptografi, men understøtter også mange moderne kryptografiske algoritmer og protokoller. Forståelse af modulær aritmetik gør det muligt at forstå mere komplekse kryptografiske systemer og deres sikkerhedsegenskaber.

Andre seneste spørgsmål og svar vedr Grundlæggende om EITC/IS/CCF klassisk kryptografi:

Se flere spørgsmål og svar i EITC/IS/CCF Classical Cryptography Fundamentals

Flere spørgsmål og svar:

Tagged under: , , , , ,