Hvad er nøglerummet for en affin chiffer?

/ / Udgivet i Cybersecurity, Grundlæggende om EITC/IS/CCF klassisk kryptografi, Kryptografiens historie, Modulære aritmetiske og historiske koder

Nøglerummet for en affin chiffer er et grundlæggende koncept i studiet af klassisk kryptografi, især inden for domænet af modulære aritmetiske og historiske chiffer. Forståelse af nøglerummet involverer at forstå rækken af ​​mulige nøgler, der kan bruges inden for den affine chifferalgoritme til at kryptere og dekryptere meddelelser. Den affine chiffer er en type monoalfabetisk substitutionsciffer, hvilket betyder, at hvert bogstav i klarteksten er afbildet til et tilsvarende bogstav i chifferteksten af ​​en matematisk funktion. Funktionen brugt i en affin chiffer er af formen:

    \[ E(x) = (ax + b) \mod m \]

hvor:
- E(x) er krypteringsfunktionen.
- x er den numeriske værdi af bogstavet i almindelig tekst.
- a og b er nøglerne til chifferen.
- m er størrelsen af ​​alfabetet.

For at dekryptere chifferteksten bruges den omvendte funktion:

    \[ D(y) = a^{-1}(y - b) \mod m \]

hvor:
- D y) er dekrypteringsfunktionen.
- y er den numeriske værdi af chiffertekstbogstavet.
- a^{-1} er den modulære multiplikative inverse af a modulo m.

Nøglerummet for den affine chiffer bestemmes af værdierne af a og b. For at den affine chiffer skal være en gyldig krypteringsmetode, a skal være coprime med m, hvilket betyder det \gcd(a, m) = 1Hvor \gcd står for den største fælles divisor. Dette krav sikrer det a har en modulær multiplikativ invers, som er nødvendig for dekrypteringsprocessen.

Detaljeret analyse af nøglerum

Bestemmelse af gyldige værdier for a

Det første trin i at forstå nøglerummet er at bestemme de gyldige værdier for a. Da a skal være coprime med m, skal vi tælle antallet af heltal mellem 1 og m-1 der er coprime med m. Dette tal er givet af Eulers Totient-funktion \phi(m). For eksempel, hvis m = 26 (som er størrelsen af ​​det engelske alfabet), værdierne af a skal være coprime med 26. Heltallene coprime med 26 er:

    \[ \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25\} \]

Der er således 12 mulige værdier for a hvornår m = 26.

Bestemmelse af gyldige værdier for b

Værdien af b kan være et hvilket som helst heltal mellem 0 og m-1. Forum m = 26, dette giver os 26 mulige værdier for b:

    \[ \{0, 1, 2, \ldots, 25\} \]

Beregning af det samlede nøglerum

Det samlede nøglerum er produktet af antallet af gyldige værdier for a og antallet af gyldige værdier for b. Ved at bruge eksemplet hvor m = 26:

    \[ \text{Total mellemrum} = \phi(26) \times 26 = 12 \times 26 = 312 \]

Derfor har den affine chiffer med en alfabetstørrelse på 26 et nøglerum på 312 mulige nøgler.

Eksempel på Affine Cipher Encryption and Decryption

For at illustrere processen med kryptering og dekryptering ved hjælp af den affine chiffer, lad os overveje et eksempel med specifikke værdier for a og b.

Eksempel på kryptering

Lade:
- a = 5
- b = 8
- m = 26

Krypteringsfunktionen er:

    \[ E(x) = (5x + 8) \mod 26 \]

Antag, at vi ønsker at kryptere almindeligtekst bogstavet 'H'. Først konverterer vi 'H' til dets numeriske ækvivalent, som er 7 (forudsat at 'A' = 0, 'B' = 1, …, 'H' = 7).

    \[ E(7) = (5 \cdot 7 + 8) \mod 26 = (35 + 8) \mod 26 = 43 \mod 26 = 17 \]

Den numeriske værdi 17 svarer til bogstavet 'R' i alfabetet. Således er bogstavet 'H' i almindelig tekst krypteret som 'R'.

Eksempel på dekryptering

For at dekryptere chiffertekstbogstavet 'R' skal vi bruge dekrypteringsfunktionen. Først finder vi den modulære multiplikative inverse af a modulo m. Den modulære multiplikative inverse af 5 modulo 26 er hele tallet a^{-1} sådan at:

    \[ 5a^{-1} \equiv 1 \mod 26 \]

Ved at bruge den udvidede euklidiske algoritme finder vi, at den modulære multiplikative inverse af 5 modulo 26 er 21. Således er dekrypteringsfunktionen:

    \[ D(y) = 21(y - 8) \mod 26 \]

Konvertering af 'R' tilbage til dets numeriske ækvivalent, som er 17:

    \[ D(17) = 21(17 - 8) \mod 26 = 21 \cdot 9 \mod 26 = 189 \mod 26 = 7 \]

Den numeriske værdi 7 svarer til bogstavet 'H' i alfabetet. Således dekrypteres chiffertekstbogstavet 'R' tilbage til 'H'.

Praktiske overvejelser og sikkerhed

Mens den affine chiffer giver et ligetil eksempel på klassisk kryptering ved hjælp af modulær aritmetik, er det vigtigt at bemærke, at det ikke er sikkert efter moderne standarder. Nøglerummet på 312 mulige nøgler er relativt lille, hvilket gør det sårbart over for brute-force-angreb. Derudover er den affine chiffer en type monoalfabetisk substitutionsciffer, hvilket betyder, at den ikke giver tilstrækkelig kompleksitet til at modstå frekvensanalyseangreb. Hvert bogstav i klarteksten er kortlagt til et unikt bogstav i chifferteksten, hvilket bevarer bogstavernes frekvensfordeling.

Rent praktisk er den affine chiffer primært af historisk og uddannelsesmæssig interesse. Det tjener som et glimrende eksempel til at illustrere principperne for modulær aritmetik og konceptet nøglerum i kryptografi. Til sikker kommunikation bruges der dog moderne kryptografiske algoritmer såsom Advanced Encryption Standard (AES) eller RSA-algoritmen, som giver væsentligt større nøglerum og forbedrede sikkerhedsfunktioner.

Nøglerummet for en affin chiffer bestemmes af antallet af gyldige værdier for nøglerne a og bHvor a skal være coprime med størrelsen af ​​alfabetet mog b kan være et hvilket som helst heltal inden for alfabetets størrelse. For en alfabetstørrelse på 26 består nøglerummet af 312 mulige taster. Selvom den affine chiffer ikke er sikker efter moderne standarder, giver den værdifuld indsigt i principperne for klassisk kryptografi og modulær aritmetik.

Andre seneste spørgsmål og svar vedr Grundlæggende om EITC/IS/CCF klassisk kryptografi:

Se flere spørgsmål og svar i EITC/IS/CCF Classical Cryptography Fundamentals

Flere spørgsmål og svar:

Tagged under: , , , , , , , , , ,