Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk turingmaskine, der løser det i polynomisk tid
Spørgsmålet "Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk Turing-maskine, der vil løse det i polynomisk tid?" berører grundlæggende begreber i beregningsmæssig kompleksitetsteori. For at løse dette spørgsmål udtømmende skal vi overveje definitionerne og karakteristikaene for NP-kompleksitetsklassen og rollen af ikke-deterministiske Turing-maskiner (NDTM'er).
Definition af NP
Klassen NP (non-deterministic polynomial time) består af beslutningsproblemer, for hvilke en given løsning kan verificeres som korrekt eller forkert i polynomiel tid af en deterministisk Turing-maskine (DTM). Formelt er et beslutningsproblem i NP, hvis der findes en polynomisk-tids-verifikationsalgoritme, der kan verificere rigtigheden af et givet certifikat (eller vidne) for en instans af problemet.
Ikke-deterministiske Turing-maskiner
En ikke-deterministisk Turing-maskine er en teoretisk beregningsmodel, der udvider mulighederne for en deterministisk Turing-maskine. I modsætning til en DTM, som følger en enkelt beregningssti defineret af dens overgangsfunktion, kan en NDTM forfølge flere beregningsstier samtidigt. Ved hvert trin kan en NDTM "vælge" fra et sæt mulige overgange, og effektivt udforske mange mulige beregninger parallelt.
Polynomial-Time Solvability af NDTM'er
Et problem siges at kunne løses af en NDTM i polynomiel tid, hvis der eksisterer en ikke-deterministisk algoritme, der kan finde en løsning på problemet inden for et antal trin, der er polynomisk i størrelsen af input. Dette betyder, at NDTM for enhver instans af problemet kan udforske en beregningsvej, der fører til en løsning i polynomisk tid.
Forholdet mellem NP og NDTM'er
Klassen NP kan defineres ækvivalent i form af NDTM'er. Konkret er et beslutningsproblem i NP, hvis og kun hvis der findes en NDTM, der kan løse problemet i polynomisk tid. Denne ækvivalens opstår fra det faktum, at en NDTM kan gætte et certifikat ikke-deterministisk og derefter verificere det deterministisk i polynomisk tid.
For at illustrere dette med et eksempel, overvej det velkendte NP-komplette problem, det boolske tilfredshedsproblem (SAT). Givet en boolsk formel i konjunktiv normalform (CNF), er opgaven at afgøre, om der findes en tildeling af sandhedsværdier til de variable, der gør formlen sand. En NDTM kan løse SAT i polynomisk tid ved ikke-deterministisk at gætte en tildeling af sandhedsværdier og derefter deterministisk kontrollere, om tildelingen opfylder formlen. Verifikationstrinnet, som involverer evaluering af formlen under den gættede opgave, kan udføres i polynomisk tid.
Implikationer af Polynomial-Time Solvability af NDTM'er
I betragtning af ovenstående definitioner og ækvivalensen mellem NP og polynomial-tids-opløselighed ved NDTM'er, kan vi konkludere, at hvis der eksisterer en NDTM, der løser et problem i polynomiel tid, så er problemet faktisk i NP. Dette skyldes, at eksistensen af en sådan NDTM indebærer, at der er en polynomiel-tids-verifikationsalgoritme for problemet. Den ikke-deterministiske gættefase af NDTM svarer til genereringen af et certifikat, og den deterministiske verifikationsfase svarer til polynomial-tidsverifikationsalgoritmen.
Yderligere overvejelser og eksempler
For yderligere at belyse dette koncept, lad os overveje yderligere eksempler på problemer i NP og deres forhold til NDTM'er:
1. Hamiltonsk vejproblem: Givet en graf, spørger Hamiltonian Path-problemet, om der findes en sti, der besøger hvert toppunkt nøjagtigt én gang. En NDTM kan løse dette problem i polynomisk tid ved ikke-deterministisk at gætte en sekvens af hjørner og derefter verificere, om sekvensen danner en gyldig Hamiltonsk sti. Verifikationstrinnet indebærer at kontrollere tilstødende af på hinanden følgende knudepunkter og sikre, at hvert knudepunkt besøges nøjagtigt én gang, som begge kan udføres i polynomisk tid.
2. Subset Sum Problem: Givet et sæt af heltal og en målsum, spørger Subset Sum-problemet, om der findes en delmængde af de heltal, der summerer til målet. En NDTM kan løse dette problem i polynomisk tid ved ikke-deterministisk at gætte en delmængde af heltallene og derefter kontrollere, om summen af delmængden er lig med målet. Verifikationstrinnet involverer summering af elementerne i den gættede delmængde, hvilket kan udføres i polynomisk tid.
3. Graffarveproblem: Givet en graf og et antal farver, spørger graffarveproblemet, om det er muligt at farve grafens hjørner, således at ikke to tilstødende hjørner deler den samme farve. En NDTM kan løse dette problem i polynomisk tid ved ikke-deterministisk at tildele farver til hjørnerne og derefter kontrollere, om farven er gyldig. Verifikationstrinnet involverer kontrol af farverne på tilstødende hjørner, hvilket kan udføres i polynomisk tid.
Konklusion
I lyset af de angivne definitioner og eksempler er det klart, at et problem faktisk kan være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der eksisterer en ikke-deterministisk Turing-maskine, der vil løse det i polynomisk tid. Dette forhold er en hjørnesten i beregningsmæssig kompleksitetsteori og understreger ækvivalensen mellem polynomisk-tidsopløselighed af NDTM'er og medlemskab i NP-klassen.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr Kompleksitet:
- Er PSPACE-klassen ikke lig med EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en delmængde af PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise, at Np- og P-klassen er ens ved at finde en effektiv polynomielløsning for ethvert NP-fuldt problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lig med EXPTIME-klassen?
- Er der problemer i PSPACE, som der ikke er nogen kendt NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et komplet NP-problem?
- NP er klassen af sprog, der har polynomielle tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk den samme kompleksitetsklasse?
- Er enhver kontekst frit sprog i P-kompleksitetsklassen?
- Er der en modsætning mellem definitionen af NP som en klasse af beslutningsproblemer med polynomial-tids-verifikatorer og det faktum, at problemer i klassen P også har polynomial-time-verifikatorer?
Se flere spørgsmål og svar i Complexity