Kan NP-klassen være lig med EXPTIME-klassen?
Spørgsmålet om, hvorvidt NP-klassen kan være lig med EXPTIME-klassen, dykker ned i de grundlæggende aspekter af beregningsmæssig kompleksitetsteori. For at løse denne forespørgsel udtømmende er det vigtigt at forstå definitionerne og egenskaberne for disse kompleksitetsklasser, forholdet mellem dem og implikationerne af en sådan lighed.
Definitioner og egenskaber
NP (Nondeterministic Polynomial Time):
Klassen NP består af beslutningsproblemer, for hvilke en given løsning kan verificeres som korrekt eller forkert i polynomiel tid af en deterministisk Turing-maskine. Formelt er et sprog (L) i NP, hvis der findes en polynomium-tidsbekræftelse (V) og et polynomium (p), således at der for hver streng (x i L), eksisterer et certifikat (y) med ( |y| leq p(|x|)) og (V(x, y) = 1).
EXPTIME (eksponentiel tid):
Klassen EXPTIME inkluderer beslutningsproblemer, der kan løses af en deterministisk Turing-maskine i eksponentiel tid. Formelt er et sprog ( L ) i EXPTIME, hvis der eksisterer en deterministisk Turing-maskine ( M ) og en konstant ( k ), således at for hver streng ( x i L ), ( M ) bestemmer ( x ) i tid ( O(2) ^{n^k}) ), hvor ( n ) er længden af ( x ).
Forholdet mellem NP og EXPTIME
For at analysere, om NP kan være lig med EXPTIME, skal vi overveje de kendte forhold mellem disse klasser og implikationerne af en sådan lighed.
1. Indeslutning:
Det er kendt, at NP er indeholdt i EXPTIME. Dette skyldes, at ethvert problem, der kan verificeres i polynomisk tid (som i NP), også kan løses i eksponentiel tid. Specifikt kan en ikke-deterministisk polynomial-tidsalgoritme simuleres af en deterministisk eksponentiel-tidsalgoritme. Derfor (tekst{NP} subseteq tekst{EXPTIME} ).
2. Adskillelse:
Den udbredte overbevisning om kompleksitetsteori er, at NP er strengt indeholdt i EXPTIME, dvs. (tekst{NP} subsetneq tekst{EXPTIME}). Denne tro stammer fra det faktum, at NP-problemer kan løses i ikke-deterministisk polynomiel tid, som generelt anses for at være en mindre klasse end de problemer, der kan løses i deterministisk eksponentiel tid.
Implikationer af NP = EXPTIME
Hvis NP var lig med EXPTIME, ville det indebære flere dybe konsekvenser for vores forståelse af beregningsmæssig kompleksitet:
1. Polynomium vs. eksponentiel tid:
En lighed (tekst{NP} = tekst{EXPTIME}) ville foreslå, at ethvert problem, der kan løses i eksponentiel tid, også kan verificeres i polynomisk tid. Dette ville indebære, at mange problemer, der i øjeblikket menes at kræve eksponentiel tid, i stedet kunne verificeres (og dermed potentielt løses) i polynomiel tid, hvilket modsiger nuværende overbevisninger om kompleksitetsteori.
2. Sammenbrud af kompleksitetsklasser:
Hvis NP var lig med EXPTIME, ville det også indebære et sammenbrud af flere kompleksitetsklasser. For eksempel ville det indebære, at (tekst{P} = tekst{NP}), som NP-komplette problemer ville være løselige i polynomisk tid. Dette ville yderligere indebære, at ( tekst{P} = tekst{PSPACE} ), og potentielt føre til et sammenbrud af polynomiumhierarkiet.
Eksempler og yderligere overvejelser
Overvej følgende eksempler for at illustrere implikationerne:
1. SAT (tilfredshedsproblem):
SAT er et velkendt NP-komplet problem. Hvis NP var lig med EXPTIME, ville det betyde, at SAT kan løses i deterministisk eksponentiel tid. Mere væsentligt ville det indebære, at SAT kan verificeres i polynomiel tid og dermed løses i polynomiel tid, hvilket fører til (tekst{P} = tekst{NP}).
2. Skak:
Problemet med at afgøre, om en spiller har en vinderstrategi i en given skakposition, er kendt for at være i EXPTIME. Hvis NP var lig med EXPTIME, ville det betyde, at et sådant problem kunne verificeres i polynomiel tid, hvilket i øjeblikket ikke antages at være muligt.
Konklusion
Spørgsmålet om, hvorvidt NP-klassen kan være lig med EXPTIME-klassen, er et væsentligt spørgsmål i beregningsmæssig kompleksitetsteori. Baseret på nuværende viden menes NP at være strengt indeholdt inden for EXPTIME. Implikationerne af, at NP er lig med EXPTIME, ville være dybtgående, hvilket ville føre til et sammenbrud af flere kompleksitetsklasser og udfordre vores nuværende forståelse af polynomium versus eksponentiel tid.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr Kompleksitet:
- Er PSPACE-klassen ikke lig med EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en delmængde af PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise, at Np- og P-klassen er ens ved at finde en effektiv polynomielløsning for ethvert NP-fuldt problem på en deterministisk TM?
- Er der problemer i PSPACE, som der ikke er nogen kendt NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et komplet NP-problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk turingmaskine, der løser det i polynomisk tid
- NP er klassen af sprog, der har polynomielle tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk den samme kompleksitetsklasse?
- Er enhver kontekst frit sprog i P-kompleksitetsklassen?
- Er der en modsætning mellem definitionen af NP som en klasse af beslutningsproblemer med polynomial-tids-verifikatorer og det faktum, at problemer i klassen P også har polynomial-time-verifikatorer?
Se flere spørgsmål og svar i Complexity