Er enhver kontekst frit sprog i P-kompleksitetsklassen?
Spørgsmålet om, hvorvidt ethvert kontekstfrit sprog (CFL) ligger inden for kompleksitetsklassen P, er et fascinerende emne inden for beregningsmæssig kompleksitetsteori. For at løse dette spørgsmål udtømmende er det vigtigt at overveje definitionerne af kontekstfri sprog, kompleksitetsklassen P og forholdet mellem disse begreber.
Et kontekstfrit sprog er en form for formelt sprog, der kan genereres af en kontekstfri grammatik (CFG). En CFG er et sæt af produktionsregler, der beskriver alle mulige strenge i et givet formelt sprog. Hver regel i en CFG erstatter et enkelt ikke-terminalsymbol med en streng af ikke-terminal- og terminalsymboler. Kontekstfrie sprog er vigtige inden for datalogi, fordi de kan beskrive syntaksen for de fleste programmeringssprog og genkendes af pushdown-automater.
Kompleksitetsklassen P består af beslutningsproblemer, der kan løses af en deterministisk Turing-maskine i polynomiel tid. Polynomisk tid, betegnet som O(n^k), hvor n er størrelsen af inputtet, og k er en konstant, repræsenterer en øvre grænse for algoritmens tidskompleksitet. Problemer i P anses for at være effektivt løses, fordi den tid, der kræves til at løse dem, vokser med en håndterbar hastighed, når inputstørrelsen øges.
For at afgøre, om ethvert kontekstfrit sprog er i P, skal vi undersøge de beregningsmæssige ressourcer, der kræves for at beslutte medlemskab i et kontekstfrit sprog. Beslutningsproblemet for et kontekstfrit sprog er typisk angivet som følger: givet en streng w og en kontekstfri grammatik G, afgør om w kan genereres af G.
Standardalgoritmen til at beslutte medlemskab i et kontekstfrit sprog er CYK (Cocke-Younger-Kasami) algoritmen, som er en dynamisk programmeringsalgoritme. CYK-algoritmen fungerer i O(n^3) tid, hvor n er længden af inputstrengen. Denne kubiske tidskompleksitet opstår, fordi algoritmen konstruerer en parse-tabel, der har dimensioner, der er proportionale med længden af inputstrengen og antallet af ikke-terminale symboler i grammatikken.
I betragtning af at CYK-algoritmen fungerer i polynomiel tid, følger det, at medlemsproblemet for kontekstfri sprog kan løses i polynomisk tid. Kontekstfrie sprog er derfor faktisk inden for kompleksitetsklassen P. Dette resultat er væsentligt, fordi det fastslår, at kontekstfri sprog, som er mere ekspressive end regulære sprog, stadig kan afgøres effektivt.
For at illustrere dette, overvej det kontekstfri sprog L = {a^nb^n | n ≥ 0}, som består af strenge med lige mange 'a'er efterfulgt af lige mange 'b'er. En kontekstfri grammatik for dette sprog kan defineres som følger:
S → aSb | ε
Her er S startsymbolet, og ε repræsenterer den tomme streng. CYK-algoritmen kan bruges til at bestemme, om en given streng w hører til L. For eksempel, givet strengen w = "aaabbb", ville CYK-algoritmen konstruere en parse-tabel for at verificere, at w kan genereres af grammatikken.
Derudover er det værd at bemærke, at nogle kontekstfrie sprog kan besluttes endnu mere effektivt end den generelle O(n^3)-tidskompleksitet af CYK-algoritmen. For eksempel kan deterministiske kontekstfrie sprog, som er en delmængde af kontekstfri sprog, der genkendes af deterministiske pushdown-automater, ofte besluttes i O(n) tid. Denne lineære tidskompleksitet opstår, fordi deterministiske pushdown-automater har en mere begrænset beregningsmodel, hvilket muliggør mere effektive parsingalgoritmer såsom LR(k)- eller LL(k)-parserne, der bruges i compilerdesign.
Medlemskabsproblemet for kontekstfri sprog kan løses i polynomisk tid ved hjælp af algoritmer som CYK-algoritmen, hvilket placerer kontekstfrie sprog inden for kompleksitetsklassen P. Dette resultat fremhæver effektiviteten, hvormed kontekstfri sprog kan behandles, hvilket gør dem velegnet til applikationer inden for programmeringssprogssyntaksanalyse og andre områder, hvor formel sproggenkendelse er påkrævet.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr Kompleksitet:
- Er PSPACE-klassen ikke lig med EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en delmængde af PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise, at Np- og P-klassen er ens ved at finde en effektiv polynomielløsning for ethvert NP-fuldt problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lig med EXPTIME-klassen?
- Er der problemer i PSPACE, som der ikke er nogen kendt NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et komplet NP-problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen, hvis der er en ikke-deterministisk turingmaskine, der løser det i polynomisk tid
- NP er klassen af sprog, der har polynomielle tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk den samme kompleksitetsklasse?
- Er der en modsætning mellem definitionen af NP som en klasse af beslutningsproblemer med polynomial-tids-verifikatorer og det faktum, at problemer i klassen P også har polynomial-time-verifikatorer?
Se flere spørgsmål og svar i Complexity