Hvorfor er sproget U = 0^n1^n (n>=0) uregelmæssigt?

/ / Udgivet i Cybersecurity, EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals, Pushdown-automatik, PDA'er: Automatisk pushdown

Spørgsmålet om sproget U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} er regelmæssig eller ej, er et grundlæggende emne inden for beregningskompleksitetsteori, især i studiet af formelle sprog og automatteori. Forståelse af dette koncept kræver en solid forståelse af definitionerne og egenskaberne af regulære sprog og de beregningsmodeller, der genkender dem.

Almindelige sprog og endelige automater

Regulære sprog er en klasse af sprog, der kan genkendes af endelige automater, som er abstrakte maskiner med et begrænset antal tilstande. Disse sprog kan også beskrives ved hjælp af regulære udtryk og kan genereres af regulære grammatikker. Det vigtigste kendetegn ved regulære sprog er, at de kan genkendes af deterministiske endelige automater (DFA) eller ikke-deterministiske endelige automater (NFA). En DFA består af et endeligt sæt tilstande, et sæt inputsymboler, en overgangsfunktion, der kortlægger tilstandssymbolpar til tilstande, en begyndelsestilstand og et sæt af accepterende tilstande.

Effekten af ​​endelige automater er begrænset af deres endelige hukommelse. De kan ikke tælle ud over et fast tal, hvilket betyder, at de ikke kan holde styr på et vilkårligt antal forekomster af et bestemt symbol, medmindre tallet er afgrænset af antallet af tilstande i automaten. Denne begrænsning er vigtig, når man overvejer sprog som f.eks U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}.

Uregelmæssighed af U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}

For at afgøre, om et sprog er regulært, kan man bruge Pumping Lemma til almindelige sprog. Pumping Lemma giver en egenskab, som alle regulære sprog skal opfylde, og den bruges ofte til at vise, at visse sprog ikke er regulære ved at demonstrere, at de ikke opfylder denne egenskab.

Pumping Lemma angiver, at for ethvert almindeligt sprog L, eksisterer der en pumpelængde p \geq 1 sådan at enhver streng s in L med længde |s| \geq s kan opdeles i tre dele, s = xyz, der opfylder følgende betingelser:
1. |xy| \leq s,
2. |y| \geq 1og
3. for alle i \geq 0, strengen xy^iz er i L.

At bruge Pumping Lemma til at vise det U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} er ikke regelmæssig, antag for modsigelsens skyld, at U er regelmæssig. Så eksisterer der en pumpelængde p sådan at enhver streng s in U med |s| \geq s kan opdeles i dele x, y, z opfylder betingelserne i Pumping Lemma.

Overvej strengen s = 0^p1^p in U. Ifølge Pumping Lemma, s kan opdeles i x, y, z sådan at |xy| \leq s og |y| \geq 1. Da |xy| \leq s, understrengen y består kun af 0'ere. Således, x = 0^a, y = 0^bog z = 0^{pab}1^p hvor 1 \leq b \leq s.

Overvej nu strengen xy^2z = 0^a0^{2b}0^{pab}1^p = 0^{p+b}1^p. Antallet af 0'ere er p + b, hvilket er større end p, mens antallet af 1'ere er tilbage p. Derfor, xy^2z \notin U fordi antallet af 0'ere og 1'ere ikke er ens. Denne modsigelse viser, at antagelsen om, at U er regelmæssig er falsk. Derfor, U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} er ikke et almindeligt sprog.

Kontekstfrie sprog og pushdown-automater

Sproget U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} er dog et kontekstfrit sprog (CFL). Kontekstfrie sprog genkendes af pushdown-automater (PDA), som er mere kraftfulde end endelige automater, fordi de kan bruge en stak til at lagre en ubegrænset mængde information. Denne ekstra hukommelse gør det muligt for PDA'er at holde styr på antallet af 0'ere og 1'ere på sproget U.

En PDA til U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} fungerer som følger:
1. Den starter i en initial tilstand og læser 0'er fra inputtet, og skubber hver 0 ind på stakken.
2. Når den første 1 er læst, går den over til en ny tilstand og begynder at poppe 0'er fra stakken for hver 1 læst fra inputtet.
3. Hvis stakken er tom, når inputtet er opbrugt, accepterer PDA'en inputtet, hvilket indikerer, at antallet af 0'er matchede antallet af 1'ere.

Denne mekanisme med at bruge en stak til at matche antallet af 0'ere og 1'ere viser PDA'ers evne til at genkende sprog, der ikke er regulære, men kontekstfrie.

Eksempler og yderligere implikationer

Overvej eksempelstrengen s = 000111 fra sproget U. En PDA vil behandle denne streng ved at skubbe hver 0 ind på stakken, mens den læser dem. Efter at have læst de tre 0'ere, vil stakken indeholde tre symboler, der hver repræsenterer et 0. Når PDA'en læser de efterfølgende 1'ere, springer den et symbol fra stakken for hver 1. Når inputtet er fuldt læst, er stakken tom, hvilket indikerer at input er accepteret.

I modsætning hertil ville en finit automat ikke være i stand til at holde styr på antallet af 0'ere og 1'ere, da den mangler stakmekanismen. Uden evnen til at gemme og hente et ubegrænset antal symboler kan en endelig automat ikke sikre, at antallet af 0'ere er lig med antallet af 1'ere, hvilket fører til dens manglende evne til at genkende sproget U.

Sondringen mellem regulære og kontekstfrie sprog er vigtig i teoretisk datalogi og har praktiske implikationer inden for områder som programmeringssprogsdesign og parsing. Kontekstfrie grammatikker, som genererer kontekstfrie sprog, bruges i vid udstrækning i definitionen af ​​programmeringssprogs syntaks. Evnen til at genkende kontekstfri sprog effektivt ved hjælp af PDA'er understøtter udviklingen af ​​parsere, der er grundlæggende for compilere og fortolkere.

Uregelmæssigheden af U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} understreger begrænsningerne ved endelige automater og fremhæver nødvendigheden af ​​mere kraftfulde beregningsmodeller som pushdown-automater for at genkende en bredere klasse af sprog. Denne sondring er ikke blot teoretisk, men har dybtgående implikationer i det praktiske design og implementering af programmeringssprog og de værktøjer, der behandler dem.

Andre seneste spørgsmål og svar vedr EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals:

Se flere spørgsmål og svar i EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals

Flere spørgsmål og svar:

Tagged under: , , , , ,