Hvordan beregnes b-parameteren i lineær regression (y-skæringspunktet for den bedst tilpassede linje)?

I sammenhæng med lineær regression er parameteren (almindeligvis omtalt som y-skæringspunktet for den bedst tilpassede linje) er en vigtig komponent i den lineære ligning Hvor repræsenterer linjens hældning. Dit spørgsmål vedrører forholdet mellem y-skæringspunktet , middelværdien af ​​den afhængige variabel og den uafhængige variabel , og skråningen .

For at løse forespørgslen skal vi overveje udledningen af ​​den lineære regressionsligning. Lineær regression har til formål at modellere forholdet mellem en afhængig variabel og en eller flere uafhængige variable ved at tilpasse en lineær ligning til observerede data. I simpel lineær regression, som involverer en enkelt prædiktorvariabel, modelleres forholdet af ligningen:

Her, (skråningen) og (y-skæringspunktet) er de parametre, der skal bestemmes. Skråningen angiver ændringen i for en ændring på én enhed , mens y-skæringspunktet repræsenterer værdien af hvornår er nul.

For at finde disse parametre bruger vi typisk mindste kvadraters metode, som minimerer summen af ​​de kvadrerede forskelle mellem de observerede værdier og værdierne forudsagt af modellen. Denne metode resulterer i følgende formler for hældningen og y-skæringspunktet :

Her, og er midlet til og værdier, hhv. Begrebet repræsenterer kovariansen af og , mens repræsenterer variansen af .

Formlen for y-skæringspunktet kan forstås som følger: en gang hældningen er bestemt, y-skæringspunktet beregnes ved at tage middelværdien af værdier og trække produktet af hældningen og middelværdien af værdier. Dette sikrer, at regressionslinjen passerer gennem punktet , som er tyngdepunktet for datapunkterne.

For at illustrere dette med et eksempel kan du overveje et datasæt med følgende værdier:

Først beregner vi midlerne af og :

Dernæst beregner vi hældningen :

Til sidst beregner vi y-skæringspunktet :

Derfor er den lineære regressionsligning for dette datasæt:

Dette eksempel viser, at y-skæringspunktet er faktisk lig med gennemsnittet af alle værdier minus produktet af hældningen og middelværdien af ​​alle værdier, som stemmer overens med formlen .

Det er vigtigt at bemærke, at y-skæringspunktet er ikke blot middelværdien af ​​alle værdier plus produktet af hældningen og middelværdien af ​​alle værdier. I stedet går det ud på at trække produktet af hældningen fra og middelværdien af ​​alle værdier fra gennemsnittet af alle værdier.

At forstå udledningen og betydningen af ​​disse parametre er afgørende for at fortolke resultaterne af en lineær regressionsanalyse. Y-skæringspunktet giver værdifuld information om basisniveauet for den afhængige variabel når den uafhængige variabel er nul. Skråningen , på den anden side angiver retningen og styrken af ​​forholdet mellem og .

I praktiske applikationer bruges lineær regression i vid udstrækning til prædiktiv modellering og dataanalyse. Det tjener som en grundlæggende teknik inden for forskellige områder, herunder økonomi, finans, biologi og samfundsvidenskab. Ved at tilpasse en lineær model til observerede data kan forskere og analytikere lave forudsigelser, identificere tendenser og afdække sammenhænge mellem variabler.

Python, et populært programmeringssprog til datavidenskab og maskinlæring, giver flere biblioteker og værktøjer til at udføre lineær regression. `scikit-learn`-biblioteket tilbyder for eksempel en ligetil implementering af lineær regression gennem sin `LinearRegression`-klasse. Her er et eksempel på, hvordan man udfører lineær regression ved hjælp af `scikit-learn` i Python:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

I dette eksempel bruges klassen 'LinearRegression' til at skabe en lineær regressionsmodel. 'fit'-metoden kaldes for at træne modellen på prøvedataene, og attributterne 'coef_' og 'intercept_' bruges til at hente henholdsvis hældningen og y-skæringen.

Y-skæringspunktet i lineær regression er ikke lig med gennemsnittet af alle værdier plus produktet af hældningen og middelværdien af ​​alle værdier. I stedet er det lig med gennemsnittet af alle værdier minus produktet af hældningen og middelværdien af ​​alle værdier, som givet af formlen .

Andre seneste spørgsmål og svar vedr EITC/AI/MLP maskinindlæring med Python:

• Hvilken rolle spiller støttevektorer i at definere beslutningsgrænsen for en SVM, og hvordan identificeres de under træningsprocessen?
• I forbindelse med SVM-optimering, hvad er betydningen af ​​vægtvektoren `w` og bias `b`, og hvordan bestemmes de?
• Hvad er formålet med `visualisere`-metoden i en SVM-implementering, og hvordan hjælper den med at forstå modellens ydeevne?
• Hvordan bestemmer `predict`-metoden i en SVM-implementering klassificeringen af ​​et nyt datapunkt?
• Hvad er det primære mål for en Support Vector Machine (SVM) i forbindelse med maskinlæring?
• Hvordan kan biblioteker som scikit-learn bruges til at implementere SVM-klassificering i Python, og hvad er nøglefunktionerne involveret?
• Forklar betydningen af ​​begrænsningen (y_i (mathbf{x}_i cdot mathbf{w} + b) geq 1) i SVM-optimering.
• Hvad er formålet med SVM-optimeringsproblemet, og hvordan er det matematisk formuleret?
• Hvordan afhænger klassificeringen af ​​et funktionssæt i SVM af beslutningsfunktionens fortegn (tekst{tegn}(mathbf{x}_i cdot mathbf{w} + b))?
• Hvad er rollen for hyperplanligningen (mathbf{x} cdot mathbf{w} + b = 0) i forbindelse med Support Vector Machines (SVM)?

Se flere spørgsmål og svar i EITC/AI/MLP Machine Learning med Python

Flere spørgsmål og svar:

• Mark: Kunstig intelligens
• program: EITC/AI/MLP maskinindlæring med Python (gå til certificeringsprogrammet)
• Lektie: Regression (gå til relateret lektion)
• Emne: Forståelse af regression (gå til relateret emne)