Er amplituder af kvantetilstande altid reelle tal?
I området for kvanteinformation er begrebet kvantetilstande og deres tilhørende amplituder grundlæggende. For at løse spørgsmålet om, hvorvidt amplituden af en kvantetilstand skal være et reelt tal, er det bydende nødvendigt at overveje kvantemekanikkens matematiske formalisme og de principper, der styrer kvantetilstande.
Kvantemekanik repræsenterer tilstanden af et kvantesystem ved hjælp af et matematisk objekt kendt som en bølgefunktion eller tilstandsvektor, typisk angivet med (psi) (psi) eller (ket{psi}) i Dirac-notation. Denne tilstandsvektor ligger i et komplekst vektorrum kaldet Hilbert-rum. Elementerne i dette rum, tilstandsvektorerne, er generelt komplekst værdifulde funktioner.
Amplituden af en kvantetilstand refererer til de koefficienter, der vises i udvidelsen af tilstandsvektoren i form af et valgt grundlag. For et kvantesystem beskrevet af en tilstandsvektor ( ket{psi} ), hvis vi udtrykker denne tilstand i form af en basis ( { ket{phi_i} } ), har vi:
[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]Her er (c_i) de komplekse amplituder forbundet med basistilstandene (ket{phi_i}). Disse amplituder (c_i) er generelt komplekse tal. Dette er en direkte konsekvens af kravet om, at det indre produktrum skal være komplet og rumme principperne om kvantesuperposition og interferens.
Amplitudernes komplekse karakter er vigtig af flere årsager:
1. Superpositionsprincippet: Kvantemekanik giver mulighed for superposition af tilstande. Hvis (ket{psi_1}) og (ket{psi_2}) er to gyldige kvantetilstande, så er enhver lineær kombination (alpha ket{psi_1} + beta ket{psi_2}), hvor (alpha) og (beta) er komplekse tal, er også en gyldig kvantetilstand. De komplekse koefficienter ( alfa ) og ( beta ) repræsenterer amplituderne af de respektive tilstande i superpositionen.
2. Sandsynlighedsfortolkning: Sandsynligheden for at måle et bestemt udfald i et kvantesystem bestemmes af modulet i anden kvadrat på amplituden. Hvis (c_i) er amplituden af en tilstand (ket{phi_i}), er sandsynligheden (P_i) for at måle tilstanden (ket{phi_i}) givet ved:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]hvor (c_i^*) er det komplekse konjugat af (c_i). Denne sandsynlighed skal være et reelt tal mellem 0 og 1, men selve amplituden ( c_i ) kan være kompleks.
3. Interferenseffekter: Amplitudernes komplekse karakter er afgørende for at beskrive interferensfænomener. Når to eller flere kvantebaner interfererer, er den resulterende amplitude summen af de individuelle amplituder, og faseforskellen mellem disse komplekse amplituder fører til konstruktiv eller destruktiv interferens. Dette er et grundlæggende aspekt af fænomener som dobbeltspalteeksperimentet.
4. Enhedsudvikling: Tidsudviklingen af en kvantetilstand er styret af Schrödinger-ligningen, som involverer den Hamiltonske operator. Løsningerne til denne ligning er generelt komplekse funktioner. De enhedsoperatorer, der beskriver udviklingen, bevarer normen for tilstandsvektoren, men kan ændre dens fase og derved kræve, at amplituderne er komplekse.
For at illustrere disse punkter, overvej et simpelt eksempel på en qubit, den grundlæggende enhed for kvanteinformation. En qubit kan være i en superposition af basistilstandene ( ket{0} ) og ( ket{1} ):
[ ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1} ]Her er ( alfa ) og ( beta ) komplekse tal, således at ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). Denne normaliseringsbetingelse sikrer, at den samlede sandsynlighed for at finde qubit i enten tilstand (ket{0}) eller (ket{1}) er 1. Den komplekse natur af (alfa) og (beta) giver mulighed for en rig struktur af kvantetilstande og er afgørende for kvanteberegning og informationsbehandlingsopgaver.
Overvej for eksempel Hadamard-porten, en fundamental kvanteport, der bruges til at skabe superpositionstilstande. Når den anvendes på basistilstanden (ket{0}), producerer Hadamard-porten tilstanden:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Her er amplituden for både ( ket{0} ) og ( ket{1} ) ( frac{1}{sqrt{2}} ), som er et reelt tal. Men hvis vi anvender Hadamard-porten til staten ( ket{1} ), opnår vi:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]I dette tilfælde er amplituden for ( ket{1} ) ( -frac{1}{sqrt{2}} ), som stadig er reel. Overvej ikke desto mindre en faseport, som introducerer en kompleks fasefaktor. Faseporten (R(theta)) virker på en qubit-tilstand (ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1}) som følger:
[ R(theta) ket{psi} = alfa ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]Her er (e^{itheta}) et komplekst tal med enhedsmodul. Denne operation viser tydeligt, at amplituden af tilstanden (ket{1}) kan erhverve en kompleks fasefaktor, hvilket understreger nødvendigheden af komplekse amplituder i kvantemekanikken.
Overvej desuden fænomenet kvantesammenfiltring, hvor en partikels tilstand er uløseligt forbundet med en andens tilstand, uanset afstanden mellem dem. En sammenfiltret tilstand af to qubits kan repræsenteres som:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Her er (e^{iphi}) en kompleks fasefaktor, der viser, at den relative fase mellem komponenterne i den sammenfiltrede tilstand er vigtig for at beskrive sammenfiltringsegenskaberne.
I kvanteberegning er brugen af komplekse amplituder uundværlig for implementeringen af kvantealgoritmer. For eksempel er Shors algoritme til faktorisering af store heltal og Grovers algoritme til ustruktureret søgning begge afhængige af interferensen af komplekse amplituder for at opnå deres eksponentielle speedup i forhold til klassiske algoritmer.
Nødvendigheden af komplekse amplituder er også tydelig i forbindelse med kvantefejlkorrektion. Kvantefejlkorrigerende koder, såsom Shor-koden eller Steane-koden, koder logiske qubits til sammenfiltrede tilstande af flere fysiske qubits. De komplekse amplituder i disse koder sikrer, at fejl kan detekteres og korrigeres uden at kollapse kvanteinformationen.
Amplituden af en kvantetilstand behøver ikke at være et reelt tal. Den komplekse karakter af kvanteamplituder er et grundlæggende aspekt af kvantemekanikken, hvilket muliggør beskrivelsen af superposition, interferens og sammenfiltring. Brugen af komplekse tal er afgørende for den matematiske konsistens af kvanteteori og den praktiske implementering af kvanteinformationsbehandlingsopgaver.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals:
- Hvad var dobbeltspalteeksperimentets historie, og hvordan hænger det sammen med bølgemekanik og kvantemekanikkens udvikling?
- Hvordan fungerer quantum negation gate (quantum NOT eller Pauli-X gate)?
- Hvorfor er Hadamard-porten selvvendbar?
- Hvis du måler den første qubit af Bell-tilstanden i en bestemt basis og derefter måler den anden qubit i en basis roteret med en bestemt vinkel theta, er sandsynligheden for, at du opnår projektion til den tilsvarende vektor, lig med kvadratet af sinus af theta?
- Hvor mange stykker af klassisk information ville være nødvendige for at beskrive tilstanden af en vilkårlig qubit-superposition?
- Hvor mange dimensioner har et rum på 3 qubits?
- Vil målingen af en qubit ødelægge dens kvantesuperposition?
- Kan kvanteporte have flere input end output på samme måde som klassiske porte?
- Inkluderer den universelle familie af kvanteporte CNOT-porten og Hadamard-porten?
- Hvad er et dobbeltspaltet eksperiment?
Se flere spørgsmål og svar i EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals