Hvor mange dimensioner har et rum på 3 qubits?
I området for kvanteinformation spiller begrebet qubits en central rolle i kvanteberegning og kvanteinformationsbehandling. Qubits er de grundlæggende enheder af kvanteinformation, analogt med klassiske bits i klassisk databehandling. En qubit kan eksistere i en superposition af tilstande, hvilket muliggør repræsentation af kompleks information og muliggør kvanteoperationer, der overgår klassiske muligheder.
Spørgsmålet om, hvor mange dimensioner der har systemet med 3 qubits, henviser til det kvantetilstandsrum, der er forbundet med et system sammensat af tre qubits (Hadamard-rummet). For at forstå bedre, er vi nødt til at overveje den matematiske ramme, der beskriver kvantetilstandene for flere qubits. I kvantemekanik kan tilstanden af en enkelt qubit repræsenteres som en lineær kombination af basistilstande, typisk betegnet som |0⟩ og |1⟩. Disse basistilstande danner et todimensionelt komplekst vektorrum kendt som Bloch-sfæren. Dette er et todimensionelt, lineært Hadamard-rum. Men Hadamard-rummet (angiver rum af kvantesystemer) er defineret over det komplekse legeme, dvs. lineære kombinationer har komplekse koefficienter. Hver kompleks koefficient kan dekomponeres i en reel og imaginær del, altså to reelle koefficienter, hvor én ganges med det imaginære tal i. Dette fordobler antallet af dimensioner af et Hadamard-rum (for eksempel har vi for qubits 2 komplekse dimensioner, men 4 rigtige dimensioner). Derudover skal man tage højde for normaliseringstilstanden for Hadamard-rummet. Denne betingelse hævder, at kvadraterne af koefficientmodulus summer til 1. Dette er en enkelt ligning på reelle værdier, der eliminerer én reel frihedsgrad, hvilket efterlader qubit-rumtilstanden med 3 reelle dimensioner, hvilket retfærdiggør Bloch-sfærerepræsentationen (som svarer til en sfærisk) referenceramme) i et rigtigt 3-dimensionelt rum.
Når vi betragter et system med flere qubits, vokser tilstandsrummet eksponentielt med antallet af qubits. For et system med n qubits er tilstandsrummet 2^n-dimensionelt (men forbliver et komplekst rum, med hensyn til reelle dimensioner skal tallet fordobles). I tilfælde af tre qubits er tilstandsrummet 2^3 = 8-dimensionelt (i komplekse dimensioner eller 16-dimensionelt i reelle dimensioner). Det er dog igen vigtigt at minde om, at tilstandsrummet i et kvantesystem er underlagt begrænsninger på grund af normaliseringsbetingelserne, som kræver, at summen af de kvadrerede størrelser af sandsynlighedsamplituder er lig med én (hvilket reducerer én reel dimension, hvilket betyder, at real space state of three qubits system har faktisk 15 reelle dimensioner).
I sammenhæng med et tre-qubit-system er tilstandsrummet spændt over et basissæt bestående af 8 basistilstande (eller med andre ord en tilstand af tre-qubit-system er en lineær kombination af disse 8 basistilstande med 8 komplekse koefficienter) . Hver basistilstand svarer til en unik kombination af binære værdier for de tre qubits. For eksempel kan basistilstandene for et tre-qubit-system betegnes som |000⟩, |001⟩, |010⟩, |011⟩, |100⟩, |101⟩, |110⟩ og |111⟩. Disse basistilstande danner en komplet ortonormal basis for det 8-dimensionelle tilstandsrum i tre-qubit-systemet.
Dimensionaliteten af kvantetilstandsrummet er vigtig i kvanteinformationsbehandling, da det bestemmer kompleksiteten og rigdommen af kvanteoperationer, der kan udføres på systemet. Højere-dimensionelle tilstandsrum muliggør repræsentation af mere indviklede kvantetilstande og letter implementeringen af avancerede kvantealgoritmer og protokoller.
Systemet med 3 qubits svarer til et 8-dimensionelt tilstandsrum (komplekst Hadamard-rum), hvor hver dimension er forbundet med en særskilt kvantetilstand defineret af de binære værdier af de individuelle qubits. At forstå dimensionaliteten af kvantetilstandsrum er afgørende for at udnytte det fulde potentiale af kvanteberegning og kvanteinformationsbehandling.
Andre seneste spørgsmål og svar vedr EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals:
- Hvad var dobbeltspalteeksperimentets historie, og hvordan hænger det sammen med bølgemekanik og kvantemekanikkens udvikling?
- Er amplituder af kvantetilstande altid reelle tal?
- Hvordan fungerer quantum negation gate (quantum NOT eller Pauli-X gate)?
- Hvorfor er Hadamard-porten selvvendbar?
- Hvis du måler den første qubit af Bell-tilstanden i en bestemt basis og derefter måler den anden qubit i en basis roteret med en bestemt vinkel theta, er sandsynligheden for, at du opnår projektion til den tilsvarende vektor, lig med kvadratet af sinus af theta?
- Hvor mange stykker af klassisk information ville være nødvendige for at beskrive tilstanden af en vilkårlig qubit-superposition?
- Vil målingen af en qubit ødelægge dens kvantesuperposition?
- Kan kvanteporte have flere input end output på samme måde som klassiske porte?
- Inkluderer den universelle familie af kvanteporte CNOT-porten og Hadamard-porten?
- Hvad er et dobbeltspaltet eksperiment?
Se flere spørgsmål og svar i EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals